【题目】已知C是线段AB垂直平分线m上一动点,连接AC,以AC为边作等边三角形ACD,点D在直线AB的上方,连接DB与直线m交于点E,连接BC,AE.
(1)如图1,点C在线段AB上.
①根据题意补全图1;
②求证:∠EAC=∠EDC;
(2)如图2,点C在直线AB的上方, 0°<∠CAB<30°,用等式表示线段BE,CE,DE之间的数量关系,并证明.
【答案】(1)①补全图形见解析;②证明见解析;(2)BE=CE+DE,证明见解析.
【解析】
(1)①根据题意补全图形即可;②根据垂直平分线的性质可得EA=EB,CA=CB,根据等边三角形的性质可得CA=CD,因此CD=CB,即可证得∠EDC=∠B;(2)如图,在EB上截取EF,使EF=CE,连接CF.根据垂直平分线的性质以及等边三角形的性质可推出∠EDC=∠EAC,又因为∠1=∠2,可得∠DEA=60°,所以∠AEB=120°,进而可推出△CEF是等边三角形,因此△CDF≌△CBE,故BE=DF=CE+DE.
(1)①补全图形如图所示.
②∵直线m是AB的垂直平分线,
∴EA=EB,CA=CB.
∴∠EAC=∠B.
∵△ACD是等边三角形,
∴CA=CD.
∴CD=CB.
∴∠EDC=∠B.
∴∠EAC=∠EDC.
(2)BE=CE+DE.
如图,在EB上截取EF,使EF=CE,连接CF.
∵直线m是AB的垂直平分线,
∴EA=EB,CA=CB.
∴∠EAB=∠EBA,∠CAB=∠CBA.
∴∠EAC=∠EBC.
∵△ACD是等边三角形,
∴CA=CD,∠ACD=60°.
∴CD=CB.
∴∠EDC=∠EBC.
∴∠EDC=∠EAC.
∵∠1=∠2,
∴∠DEA=∠ACD=60°.
∴∠AEB=120°.
∵EA=EB,m⊥AB,
∴∠AEC=∠BEC=60°.
∴△CEF是等边三角形.
∴∠CEF=∠CFE=60°.
∴△CDF≌△CBE.
∴DF=BE.
∴BE=CE+DE.
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【题目】计算:
(1)+(﹣1)2017﹣(
﹣
),
(2)2(3a2b﹣2ab2)﹣3(ab2+2a2b),
(3)﹣7x2y﹣3xy2+5x2y+13xy,其中x=﹣,y=
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【题目】已知∠BOP与OP上点C,点A(在A的左侧),嘉嘉进行如下作图:
①以点O为圆心,OC为半径画弧,交OB于点D,连接CD
②以点A为圆心,OC为半径画弧MN,交AP于点M
③以点M为圆心,CD为半径画弧,交MN于点E,连接ME,作射线AE
如图所示,则下列结论不成立的是( )
A. CD∥EM B. AE∥OB C. ∠ODC=∠AEM D. ∠OAE=∠BDC
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【题目】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角” (如图)就是一例.这个三角形给出了(n=1,2,3,4,5,6)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应
展开式中各项的系数;第五行的五个数1,4,6,4,1,恰好对应着
展开式中各项的系数,等等.
有如下三个结论:
①当a=1,b=1时,代数式的值是1;
②当a=-1,b=2时,代数式的值是1;
③当代数式的值是1时,a的值是-2或-4.
上述结论中,所有正确结论的序号为( )
A. ①② B. ② C. ③ D. ②③
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【题目】已知:如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=12cm,BD=16cm.点P从点A出发,沿AB方向匀速运动,速度为1cm/s;过点P作直线PF∥AD,PF交CD于点F,过点F作EF⊥BD,且与AD、BD分别交于点E、Q;连接PE,设点P的运动时间为t(s)(0<t<10). 解答下列问题:
(1)填空:AB= cm;
(2)当t为何值时,PE∥BD;
(3)设四边形APFE的面积为y(cm2)
①求y与t之间的函数关系式;
②若用S表示图形的面积,则是否存在某一时刻t,使得S四边形APFE= S菱形ABCD?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某商场销售同一品牌羽绒服和防寒服,已知去年12月份,销售羽绒服a件,防寒服销量是羽绒服的4倍,其中防寒服售价为b元/件,羽绒服的售价是防寒服的4倍,受市场影响,今年1月份,羽绒服销量和售价均下降m%,但防寒服销量和售价均增加m%.
(1)求该商场今年1月份销售羽绒服和防寒服的销售额;
(2)若a=100,b=300,m=5,则该商场今年1月份销售羽绒服和防寒服的销售额是多少万元?
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【题目】如图,将圆心角都是90°的扇形OAB和扇形OCD叠放在一起,连接AC、BD.
(1)将△AOC经过怎样的图形变换可以得到△BOD?
(2)若 的长为πcm,OD=3cm,求图中阴影部分的面积是多少?
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【题目】如图,为了测量校园内一棵不可攀的树的高度,数学应用实践小组做了如下的探索实践:根据《物理学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如图的测量方案:把镜子放在离树(AB)9米的点E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米,观察者目高CD=1.8米,则树(AB)的高度为米.
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【题目】某同学进行社会调查,随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况,并绘制了统计图,请你根据统计图给出的信息回答:
(1)填写完成下表:
年收入(万元) | 0.6 | 0.9 | 1.0 | 1.1 | 1.2 | 1.3 | 1.4 | 9.7 |
户 数 | 1 | 1 | 2 | 4 |
这20个家庭的年平均收入为 万元;
(2)样本中的中位数是 万元,众数是 万元;
(3)在平均数、中位数两数中, 更能反映这个地区家庭的年收入水平.
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