Question

如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为

BC

上一点，弦，DE交⊙O点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于点H，且HC=HG，连接BH，交⊙O于点M，连接MD，ME．
（1）求证：点B为弧DE的中点；
（2）求证：∠HMD=∠MHE+∠MEH；
（3）若HC=3BG，⊙O的半径为4，tan∠ABC=

3

4

，求HC和DG的长度．

Answer 1

考点：圆的综合题,三角形的外角性质,等腰三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）连接OC，如图1，根据切线的性质可得∠OCH=90°，要证点B为弧DE的中点，根据垂径定理只需证明∠BFG=∠OCH=90°即可；
（2）连接BE，如图2，要证∠HMD=∠MHE+∠MEH，只需证∠HMD=∠BME，根据圆内接四边形的性质可得∠HMD=∠BED，只需证到∠BED=∠BME即可；
（3）作HN⊥BC于点N，连接AC、OD，如图3．在Rt△BFG中，设FG=3k，则有FB=4k，BG=5k，HG=HC=3BG=15k．易证△HNG∽△BFG，根据相似三角形的性质可求得GN=9k．由HG=HC，HN⊥GC可得CN=GN=9k，从而可得BC=23k，进而得到AB=

5

4

BC=

115

4

k，根据⊙O的半径为4可求出k，从而可求出FG、BF、HC、OF，在Rt△DFO中，运用勾股定理可求出DF，就可求出DG的值．

解答：证明：（1）连接OC，如图1，

∵HC=HG，
∴∠HCG=∠HGC；
∵HC切⊙O于C点，
∴∠OCB+∠HCG=90°；
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠HGC=∠BGF，
∴∠OBC+∠BGF=90°，
∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；
∵AB是直径，
∴点B为弧DE的中点；

（2）连接BE，

由（1）知

BD

=

BE

，
∴∠BED=∠BME；
∵四边形BMDE内接于⊙O，
∴∠HMD=∠BED，
∴∠HMD=∠BME；
∵∠BME是△HEM的外角，
∴∠BME=∠MHE+∠MEH，
∴∠HMD=∠MHE+∠MEH；

（3）作HN⊥BC于点N，连接AC、OD，如图3．

则有∠HNG=90°．
在Rt△BFG中，
tan∠FBG=

FG

FB

=

3

4

．
设FG=3k，则FB=4k，
∴BG=

FG2+BF2

=5k，
∴HG=HC=3BG=15k．
∵∠HNG=∠BFG=90°，∠HGN=∠BGF，
∴△HNG∽△BFG，
∴

GN

GF

=

GH

BG

，
∴

GN

3k

=

15k

5k

，
∴GN=9k．
∵HG=HC，HN⊥GC，
∴CN=GN=9k，
∴BC=BG+GN+NC=5k+9k+9k=23k．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴tan∠ABC=

AC

BC

=

3

4

，
∴AC=

3

4

BC，
∴AB=

AC2+BC2

=

5

4

BC=

115

4

k．
∵⊙O的半径为4，
∴

115

4

k=8，
∴k=

32

115

，
∴FG=3k=

96

115

，BF=4k=

128

115

，HC=15k=

96

23

，
∴OF=OB-BF=4-

128

115

=

332

115

．
在Rt△DFO中，
DF=

OD2-OF2

=

42-( 332 115 )2

=

96 11

115

，
∴DG=DF-GF=

96 11

115

-

96

115

=

96 11 -96

115

．
∴HC的长度为

96

23

，DG的长度为

96 11 -96

115

．

点评：本题主要考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理、内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，综合性比较强，有一定的难度；设FG=3k，然后利用三角函数、相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识求出BC（用k的式子表示）是解决第（3）小题的关键．