Question

【题目】如图，正方形ABCD和直角△ABE，∠AEB＝90°，将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF

(1) 在图中画出点O和△CDF，并简要说明作图过程

(2) 若AE＝12，AB＝13，求EF的长

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】分析：（1）连接AC和BD，根据中心对称的性质可判断它们的交点为旋转中心O，延长EO到F，使FO=EO，则△CDF满足条件；
（2）过点O作OG⊥OE与EB的延长线交于点G，如图，先利用勾股定理计算出BE=5，再利用正方形的性质得OA=OB，∠AOB=90°，则∠AOE=∠BOG，接着根据三角形内角和得到∠GBO=∠EAO，于是可判断△EAO≌△GBO，所以AE=BG=12，OE=OG，然后判断△GEO为等腰直角三角形，则可得到OE=EG=（BG-BE）=，从而得到EF=7.

本题解析：

(1)连接 AC 和 BD ，则它们的交点为旋转中心 O ，延长 EO 到 F ，使 FO=EO ，

如图，点 O 和 △CDF 为所作；

(2)过点 O 作 OG⊥OE 与 EB 的延长线交于点 G ，如图，

在 Rt△ABE 中 ,BE= ，

∵ 四边形 ABCD 为正方形，

∴OA=OB,∠AOB=90°，

而 ∠EOG=90°，

∴∠AOE=∠BOG°，

∵∠AEB=∠AOB=90°，

∴∠GBO=∠EAO，

∴ 在 △EAO 和 △GBO 中，

，

∴△EAO ≌ △GBO ，

∴AE=BG=12， OE=OG ，

∴△GEO 为等腰直角三角形，

∴OE=EG= (BGBE)= ×(125)= ，

∴EF=2OE=7.