Question

如图，一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以30海里/时的速度沿北偏东45°方向航行，40分钟到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上．
（1）求此时货轮距灯塔A的距离AC（结果保留根号）；
（2）当货轮航行至点C处时，一快艇从B处出发沿货轮的航线追赶货轮，货轮继续按原来方向和速度航行，恰好在灯塔A的正东方向的D点处追上货轮，则快艇的速度为每小时多少海里？

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：

分析：（1）根据题意首先求出BC的长，进而得出BH，AH的长，即可得出答案；
（2）首先求出BE的长，进而得出BD的长，即可得出快艇的速度．

解答：解：（1）如图所示：过点B作BH⊥AC于点H，由题意可得：
BC=30×

40

60

=20（海里），∠ABM=30°，∠DBM=45°，∠ACN=75°，
则∠ABC=∠ACM+∠CBM=75°，
∵BM∥CN，
∴∠BCN=180°-∠CBM=135°，
∴∠ACB=∠BCN-∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=45°，
在Rt△BCH和Rt△ABH中，
∠CBH=30°，∠ABH=45°，
则CH=

1

2

BC=10，BH=

BC2-CH2

=10

3

，AH=BH=10

3

，
故AC=AH+CH=10+10

3

，
此时货轮距灯塔A的距离AC为：（10+10

3

）海里；

（2）在Rt△ABH中，AB=

AH2+BH2

=10

6

，
设BM与AD交于点E，由题意可得：BM⊥AD，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=30°，
故AE=

1

2

AB=5

6

，BE=

AB2-AE2

=15

2

，
在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠DBE=45°，
故BD=

BE

cos∠DBE

=

15 2

cos45°

=30（海里），
故CD=BD-BC=10（海里），
30÷（10÷30）=90（海里/小时），
即快艇的速度为每小时90海里．

点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键．