Question

13．如图1，矩形ABCD，动点E从B点出发匀速沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动，另一动点F同时从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达A点停止运动．设E点运动时间为x（s），△BEF的面积为y（cm²）．y关于x的函数图象如图2所示．
（1）BC=3cm，AB=3cm，点E的运动速度是1cm/s；
（2）求y关于x的函数关系及其自变量取值范围；
（3）当∠DFE=90°时，请直接写出x的取值．

Answer 1

分析 （1）根据图2可知，点F由B到C运动时间为1s，由C到D运动时间为1s，从而可以得到BC、CD的长即点E运动的速度；
（2）由（1）可知，E一直在AB边上运动，F在BC、CD、DA上运动，所以分类讨论，求出0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3时△BEF的面积；
（3）根据题意可知符合要求的有两种情况，分别画出相应的图形，求出对应的x的值即可解答本题．

解答 解：（1）由图2可知，点F由B到C运动时间为1s，由C到D运动时间为1s，
∵点F从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，
∴BC=3×1=3cm，CD=3×（2-1）=3×1=3cm，
∴AB=CD=3cm，
设点E在1s时运动的距离为a，
$\frac{3×a}{2}=\frac{3}{2}$
得a=1
即点E的速度为1cm/s．
故答案为：3，3，1cm/s；
（2）当0≤x≤1时，E、F分别在AB、BC上，△BEF为直角三角形，所以y=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$x•3x=$\frac{3}{2}{x}^{2}$；
当1＜x≤2时，E、F分别在AB、CD上，BC的长等于△BEF的高，所以y=$\frac{1}{2}$BE•BC=$\frac{1}{2}$x•3=$\frac{3}{2}x$；
当2＜x≤3时，E、F分别在AB、AD上，AF为△BEF的高，所以y=$\frac{1}{2}$BE•AF=$\frac{1}{2}$x•（9-3x）=$\frac{3}{2}$x（3-x）．
由上可得，$y=\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}{x}^{2}}&{0≤x≤1}\\{y=\frac{3}{2}x}&{1＜x≤2}\\{y=\frac{3}{2}x（3-x）}&{2＜x≤3}\end{array}\right.$；
（3）当∠DFE=90°时，x的值是$\frac{2}{3}$或1.5．
理由：当∠DFE=90°时，存在两种情况，
第一种情况，如下图一所示，

∵∠DFE=90°，∠B=∠C=90°，∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠EFB+∠DFC=90°，
∴∠BEF=∠CFD，
∴△EFB∽△FDC，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{BF}{CD}$，
即$\frac{x}{3-3x}=\frac{3x}{3}$
解得，x=$\frac{2}{3}$；
第二种情况，如下图二所示，

由题意可得，3x-3=x，得x=1.5；
由上可得，当∠DFE=90°时，x的值是$\frac{2}{3}$或1.5．

点评 本题考查动点问题的函数图象、求函数的解析式，解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，画出相应的图形，利用数形结合的思想进行解答．