Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2，点M、N分别在线段AC、AB上，将△AMN沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，则AN的长为_____．

Answer 1

【答案】或4﹣6．

【解析】

△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM＝90°时；当∠CMD＝90°时，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到AN的长．

解：分两种情况：

①如图，当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形，

∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2，

∴∠C＝30°，AB＝AC＝，

由折叠可得，∠MDN＝∠A＝60°，

∴∠BDN＝30°，

∴BN＝DN＝AN，

∴BN＝AB＝，

∴AN＝2BN＝；

②如图，当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，

由题意可得，∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，

∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，

∴BD＝DN＝AN，BN＝BD，

又∵AB＝，

∴2BD+BD＝，

解得：BD＝2﹣3，

∴AN＝2BD＝4﹣6；

综上所述，AN的长或4﹣6；

故答案为：或4﹣6．