Question

【题目】如图，中，，为的中点，绕点旋转，分别与边交于两点

⑴求证：是等腰直角三角形；

⑵求证：；

⑶若的长为16，求四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）32．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质，得到∠C＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，然后利用ASA证明三角形全等，即可得到结论；

（2）由（1）可知，AE＝CF，然后得到结论成立；

（3）由（1）可知，利用全等三角形面积相等，即可求出四边形的面积.

（1）证明：∵Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，

∴∠C＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，

∵∠MDN＝90°，

∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF．

在△AED与△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴ED＝FD．；

（2）由（1）得，△AED≌△CFD，

∴AE＝CF，

∴BE+CF＝BE+AE=AB=AC；

（3）∵△AED≌△CFD，

∴S四边形AEDF＝S△ADE+ S△ADF

＝S△CDF+ S△ADF = S△ADC

= AD2．

由已知可得，AD＝BD＝CD=8

∴S四边形AEDF＝= AD2==32．