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【题目】将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1,点ACD的对应点分别为A1C1D1

1)当点A1落在AC上时

①如图1,若∠CAB60°,求证:四边形ABD1C为平行四边形;

②如图2AD1CB于点O.若∠CAB≠60°,求证:DOAO

2)如图3,当A1D1过点C时.若BC5CD3,直接写出A1A的长.

【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)

【解析】

1首先证明△ABA1是等边三角形,可得∠AA1B=∠A1BD160°,即可解决问题.

首先证明△OCD1≌△OBAAAS),推出OCOB,再证明△DCO≌△ABOSAS)即可解决问题.

2)如图3中,作A1EABEA1FBCF.利用勾股定理求出AEA1E即可解决问题.

1)证明:①如图1中,

∵∠BAC60°BABA1

∴△ABA1是等边三角形,

∴∠AA1B60°

∵∠A1BD160°

∴∠AA1B=∠A1BD1

ACBD1

ACBD1

∴四边形ABD1C是平行四边形.

②如图2中,连接BD1

∵四边形ABD1C是平行四边形,

CD1ABCD1AB

OCD1=∠ABO

∵∠COD1=∠AOB

∴△OCD1≌△OBAAAS),

OCOB

CDBA,∠DCO=∠ABO

∴△DCO≌△ABOSAS),

DOOA

2)如图3中,作A1EABEA1FBCF

RtA1BC中,∵∠CA1B90°BC5AB3

CA14

A1CA1BBCA1F

A1F

∵∠A1FB=∠A1EB=∠EBF90°

∴四边形A1EBF是矩形,

EBA1FA1EBF

AE3

RtAA1E中,AA1

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|a1|是表示点A到点   的距离;

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