Question

【题目】如图（1），抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；

（3）如图（2），将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2+4x+3；（2） h=4或≤h<；（3）y轴的负半轴上存在点P（0,-3），使△PEF的内心在y轴上.

【解析】

（1）将A（-3，0）、B（-1，0），代入y=ax2+bx+3求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；

（2）配方后即可确定其顶点坐标，然后利用平移规律确定函数的解析式，然后根据线段与抛物线有唯一的公共点求得h的值或取值范围即可；

（3）将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2，设MN的解析式为y=kx+3（k≠0）．假设存在满足题设条件的点P（0，t），过P作GH∥x轴，分别过M，N作GH的垂线，垂足为G，H．根据△PMN的内心在y轴上，得到∠GMP=∠MPQ=∠QPN=∠HNP，从而△GMP∽△HNP，利用相似三角形对应边成比例即可列出有关t的方程求解即可．

（1）抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点

∴9a-3b+3=0且a-b+3=0

解得a=1，b=4

∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3

（2）由（1）配方得y=（x+2）2-1

∴抛物线的顶点M（-2，-1）

∴直线OM的解析式为y=x

于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h，h），

∴平移的抛物线解析式为y=（x-h）2+h，．

①当抛物线经过点E时，

∵C（0，9），

∴h2+h=9，

解得h=．

∴当≤h＜时，平移的抛物线与线段EF只有一个公共点．

②当抛物线与线段CD只有一个公共点时，

由方程组y=（x-h）2+h，y=-2x+9．

得x2+（-2h+2）x+h2+h-9=0，

∴△=（-2h+2）2-4（h2+h-9）=0，

解得h=4．

此时抛物线y=（x-4）2+2与线段CD唯一的公共点为（3，3），符合题意．

综上：平移的抛物线与线段CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或≤h＜．

（3）将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2，

设EF的解析式为y=kx+3（k≠0）．

假设存在满足题设条件的点P（0，t），过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H．

∵△PEF的内心在y轴上，

∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，

∴△GEP∽△HFP，

∴，

∴

∴2kxExF=（t-3）（xE+xF）

由y=x2，y=kx+3．得x2-kx-3=0．

∴xE+xF=k，xExF=-3．

∴2k（-3）=（t-3）k，

∵k≠0，

∴t=-3．

∴y轴的负半轴上存在点P（0，-3），使△PEF的内心在y轴上．