【题目】如图①,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4.
(1)在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,则D点的坐标;E点的坐标 .
(2)如图②,若AE上有一动点P(不与A、E重合)自A点沿AE方向向E点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为t秒(0<t<5),过P点作ED的平行线交AD于点M,过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式;t取何值时,S有最大值,最大值是多少?
(3)在(2)的条件下,当t为何值时,以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应时刻点M的坐标.
【答案】
(1)(0,2.5),(2,4)
(2)解:∵PM∥ED,
∴△APM∽△AED.
∴PM:ED=AP:AE,
∴PM= ,
又∵AP=t,ED=2.5,AE=5,
∴PM= =
t,
∵PM∥DE,MN∥EP,
∴四边形NMPE为平行四边形.
又∵∠DEA=90°,
∴四边形PMNE为矩形.
∴S矩形PMNE=PMPE= t(5﹣t)=﹣
t2+
t.
∴S矩形PMNE=﹣ (t﹣
)2+
,
又∵0< <5.
∴当t= 时,S矩形PMNE有最大值
.
(3)解:(Ⅰ)若以AE为等腰三角形的底,则ME=MA(如图①)
在Rt△AED中,ME=MA,
∵PM⊥AE,
∴P为AE的中点,
∴t=AP= AE=2.5.
又∵PM∥ED,
∴M为AD的中点.
过点M作MF⊥OA,垂足为F,则MF是△OAD的中位线,
∴MF= OD=
,OF=
OA=2.5,
∴当t=2.5时,(0<2.5<5),△AME为等腰三角形.
此时M点坐标为(2.5,1.25).
(Ⅱ)若以AE为等腰三角形的腰,则AM=AE=5(如图②)
在Rt△AOD中,AD= =
.
过点M作MF⊥OA,垂足为F.
∵PM∥ED,
∴△APM∽△AED.
∴AP:AE=AM:AD.
∴t=AP= =2
.
∴PM= t=
.
∴MF=MP= ,OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2
,
∴当t=2 时,(0<2
<5),此时M点坐标为(5﹣2
,
).
(Ⅲ)根据图形可知EM=EA的情况不成立.
综合综上所述,当t=2.5或t=2 时,以A,M,E为顶点的三角形为等腰三角形,相应M点的坐标为(
,
)或(5﹣2
,
).
【解析】解:(1)依题意可知,折痕AD是四边形OAED的对称轴,
∵在Rt△ABE中,AE=AO=5,AB=4,BE= =3.
∴CE=2.
∴E点坐标为(2,4).
在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2,
又∵DE=OD.
∴(4﹣OD)2+22=OD2.
解得:OD=2.5.
∴D点坐标为(0,2.5).
所以答案是:(0,2.5),(2,4);
【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值和勾股定理的概念的相关知识点,需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示的坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标依次为A(﹣1,2),B(﹣4,1),C(﹣2,﹣2).
(1)请在这个坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.
(2)分别写出点A1、B1、C1的坐标.
(3)求△A1B1C1的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为D、F,∠2+∠3=180°,试说明:∠GDC=∠B.请补充说明过程,并在括号内填上相应的理由.
解:∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知)
∴∠ADB=∠EFB=90° ,
∴EF∥AD( ),
∴ +∠2=180°( ).
又∵∠2+∠3=180°(已知),
∴∠1=∠3( ),
∴AB∥ ( ),
∴∠GDC=∠B( ).
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边BC、AD上的点,有下列条件:
①AE∥CF;②BE=FD;③∠1=∠2;④AE=CF.
若要添加其中一个条件,使四边形AECF一定是平行四边形,则添加的条件可以是( )
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某中学开展“绿化家乡、植树造林”活动,为了解全校植树情况,对该校甲、乙、丙、丁四个班级植树情况进行了调查,将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图,请根据图中的信息,完成下列问题:
(1)这四个班共植树棵;
(2)请你在答题卡上补全两幅统计图;
(3)求图1中“甲”班级所对应的扇形圆心角的度数;
(4)若四个班级植树的平均成活率是95%,全校共植树2000棵,请你估计全校种植的树中成活的树有多少棵?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】重庆八中七年级 16 班同学为了解2019年某小区家庭月均用水情况,进行了一次社会实践活动.他们随机调查了该小区部分家庭,并将调查数据进行如下整理,
请解答以下问题:
(1)把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整;
(2)若重庆市准备实施的阶梯水价中,计划对月用水量不超过 15 吨的家庭实施水价下浮政策.为此,该班同学随机从这些用户中抽取一户进行采访.则抽到的采访用户属于月用水量不超过 5 吨的概率是多少?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】下列说法正确的是( )
A.圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B.在平面直角坐标系中,不同的坐标可以表示同一点
C.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)一定有实数根
D.将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE,则△ABC与△ADE不全等
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com