Question

用一段18米的钢材制作一个上部为一段圆弧，下部是矩形的窗框，试问窗框的高、宽分别为多少米，该窗框的透光面积最大？（圆弧所对的圆心角始终为90°）

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：如图，先设宽度AD=x，可以求出顶部

AD

长，进而可以表示出AB的值，然后求出面积（为下边的矩形和顶部拱形面积之和），面积是x的二次函数（图形是开口向下的抛物线），求出抛物线顶点对应的值就是面积的最大值，顶点对应的x值就是所求的宽度．

解答：解：设AD=x，作OE⊥AD于E，
∴AE=DE=

1

2

x，
∵∠AOD=90°，
∴AE=OE=

1

2

x，
∴由勾股定理得：

AD

的半径AO=

2

2

x≈0.707x，
∴

AD

=

90π× 2 2 x

180

=

2

4

πx≈1.111x，
∴AB=（18-x-

2

4

πx）÷2=9-

1

2

x-

2

8

πx≈9-1.056x
弓形的面积=π（

2

2

x）²-

( 2 2 x)2

2

=0.143x²
设该窗框的透光面积为y平方米，由题意，得
y=x（9-1.056x）+0.143x²=9x-0.913x²，
y=-0.913（x²-9.858x+4.929²）+22.181，
y=-0.913（x-4.929）²+22.181．
∴a=0.913＜0，
∴x=4.929m时，y_最大=22.181平方米．

点评：本题考查了矩形的面积的运用，扇形的面积的运用，三角形的面积公式的运用，弓形的面积的运用，勾股定理的运用，弧长公式的运用，二次函数的解析式的运用，解答时求出函数关系式是关键．