Question

17．如图，直线AB交双曲线y=$\frac{k}{x}$于点A，B，交x轴于点C，连结OA，若OA⊥AB，tan∠ACO=$\frac{1}{2}$，S_△OAC=12，则k的值为$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 作AD⊥OC于D，根据已知求得AD=2OD，然后根据勾股定理求得OA=$\sqrt{5}$OD，然后根据三角形相似的性质求得S_△DOA=$\frac{12}{5}$，进而根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．

解答 解：作AD⊥OC于D，
∵∠OAC=∠ADO=90°，∠AOD=∠COA，
∴∠OAD=∠ACO，
∵tan∠ACO=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠OAD=$\frac{OD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=2OD，
∴OA=$\sqrt{5}$OD，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\sqrt{5}$，
∵∠OAC=∠ADO=90°，∠AOD=∠COA，
∴△AOC∽△DOA，
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△DOA}}$=（$\frac{OA}{OD}$）²=5，
∵S_△OAC=12，
∴S_△DOA=$\frac{12}{5}$，
∵S_△DOA=$\frac{1}{2}$|k|，k＞0，
∴k=2×$\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$，
故答案为$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形相似的判断和性质以及反比例函数系数k的几何意义，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．