Question

已知，如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．求证：
（1）OC=OD；
（2）OP是CD的垂直平分线．

Answer 1

考点：角平分线的性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）先根据P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB得出PC=PD，由HL定理得出△POC≌△POD，故可得出OC=OD；
（2）根据P是∠AOB平分线上的一点得出∠COP=∠DOP，根据SAS定理得出△COE≌△DOE，由此可得出结论．

解答：解：（1）证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
在Rt△POC与Rt△POD中，
∵

PC=PD OP=OP

，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC=OD；

（2）证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，
∴∠COP=∠DOP
∵由（1）知，OC=OD，
∴在△COE与△DOE中，

OC=OD ∠COP=∠DOP OE=OE

，
∴△COE≌△DOE，
∴CE=DE，OE⊥CD，即OP是CD的垂直平分线．

点评：本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．