【题目】在菱形中,.
(1)如图1,点为线段的中点,连接,.若,求线段的长.
(2)如图2,为线段上一点(不与,重合),以为边向上构造等边三角形,线段与交于点,连接,,为线段的中点.连接,判断与的数量关系,并证明你的结论.
(3)在(2)的条件下,若,请你直接写出的最小值.
【答案】(1)EC=;(2)DM=2DQ;(3)DM+CN的最小值为2.
【解析】
(1)如图1,连接对角线BD,先证明△ABD是等边三角形,根据E是AB的中点,由等腰三角形三线合一得:DE⊥AB,利用勾股定理依次求DE和EC的长;
(2)如图2,作辅助线,构建全等三角形,先证明△ADH是等边三角形,再由△AMN是等边三角形,得条件证明△ANH≌△AMD(SAS),则HN=DM,根据DQ是△CHN的中位线,得HN=2DQ,由等量代换可得结论.
(3)先判断出点N在CD的延长线上时,CN+DM最小,最小为CH,再判断出∠ACD=30°,即可用三角函数求出结论.
解:(1)如图1,
连接BD,则BD平分∠ABC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴∠A+∠ABC=180°,
∵∠A=60°,
∴∠ABC=120°,
∴∠ABD=∠ABC=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴BD=AD=4,
∵E是AB的中点,
∴DE⊥AB,
由勾股定理得:DE=,
∵DC∥AB,
∴∠EDC=∠DEA=90°,
在Rt△DEC中,DC=4,
EC=;
(2)如图2,
延长CD至H,使DH=CD,连接NH、AH,
∵AD=CD,
∴AD=DH,
∵CD∥AB,
∴∠HDA=∠BAD=60°,
∴△ADH是等边三角形,
∴AH=AD,∠HAD=60°,
∵△AMN是等边三角形,
∴AM=AN,∠NAM=60°,
∴∠HAN+∠NAG=∠NAG+∠DAM,
∴∠HAN=∠DAM,
在△ANH和△AMD中,
∴△ANH≌△AMD(SAS),
∴HN=DM,
∵D是CH的中点,Q是NC的中点,
∴DQ是△CHN的中位线,
∴HN=2DQ,
∴DM=2DQ.
(3)如图2,由(2)知,HN=DM,
∴要CN+DM最小,便是CN+HN最小,
即:点C,H,N在同一条线上时,CN+DM最小,
此时,点D和点Q重合,
即:CN+DM的最小值为CH,
如图3,
由(2)知,△ADH是等边三角形,
∴∠H=60°.
∵AC是菱形ABCD的对角线,
∴∠ACD=∠BCD=∠BAD=30°,
∴∠CAH=180°-30°-60°=90°,
在Rt△ACH中,CH==2,
∴DM+CN的最小值为2.
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【题目】如图,点为上的点,为上的点,,,那么,
请完成它成立的理由.
∵,
.(______)
∴(______)
∴____________,(______)
∴(______)
∵,
∴(______).
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【题目】某旅行社组织一批游客外出旅游,原计划租用30座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的45座客车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满。已知30座客车租金为每辆220元,45座客车租金为每辆300元,问:
(1)这批游客的总人数是多少?原计划租用多少辆30座客车?
(2)若租用同一种客车,要使每位游客都有座位,应该怎样租用才合算?
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【题目】某校七年级八个级共有320名学生,男女生人数大致相同,调查小组为调查学生的体质健康水平,开展了一次调查研究,请将下面的过程补全:
收集数据
(1)调查小组计划选取40名学生的体质健康测试成绩作为样本,下面的取样方法中,合理的是_______(填字母);
A.抽取七年级1班、2班各20名学生的体质健康测试成绩组成样本
B.抽取各班体育成绩较好的学生共40名学生的体质健康测试成绩组成样本
C.从年级中按学号随机选取男女生各20名学生学生的体质健康测试成绩组成样本
整理、描述数据
抽样方法确定后,调查小组获得了40名学生的体质健康测试成绩如下:
整理数据,如下表所示:
2019年七年级部分学生的体质健康测试成绩统计表
(2)表格中a=______,b=______;
分析数据、得出结论
调查小组将统计后的数据绘制成直方图如图所示:
(3)若规定80分以上(包括80分)为合格健康体质,从合格率的角度看,这两年的哪年体质测试成绩好?说明理由;
(4)体育老师计划根据2019年的统计数据安排75分以下的同学参加体质加强训练项目,求全年级约有多少名同学参加此项目.
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【题目】如图,在矩形中,,,点E在边AB上,点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点,把沿EF折叠,点B落在点处.若,当是以为腰的等腰三角形时,线段的长为__________.
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【题目】某文具店准备购进甲、乙两种文具袋,已知甲文具袋每个的进价比乙每个进价多2元,经了解,用120元购进的甲文具袋与用90元购进的乙文具袋的数量相等.
(1)分别求甲、乙两种文具袋每个的进价是多少元?
(2)若该文具店用1200元全部购进甲、乙两种文具袋,设购进甲x个,乙y个.
①求y关于x的关系式.
②甲每个的售价为10元,乙每个的售价为9元,且在进货时,甲的购进数量不少于60个,若这批文具袋全部售完可获利w元,求w关于x的关系式,并说明如何进货该文具店所获利润最大,最大利润是多少?
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【题目】如图,点O是等边△ABC内一点,D是△ABC外的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,连接OD.
(1)求证:△OCD是等边三角形.
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状(按角分类),并说明理由.
(3)求∠OAD的度数.
(4)探究:当α= 时,△AOD是等腰三角形.(不必说明理由)
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【题目】为响应珠海环保城市建设,我市某污水处理公司不断改进污水处理设备,新设备每小时处理污水量是原系统的1.5倍,原来处理1200m3污水所用的时间比现在多用10小时.
(1)原来每小时处理污水量是多少m2?
(2)若用新设备处理污水960m3,需要多长时间?
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