Question

2．如图，在扇形OAB中，半径OA=4，∠AOB=120°，点C在$\widehat{AB}$上，OD⊥AC于点D，OE⊥BC于点E，当点C从点A运动到点B时，线段DE长度的变化情况是（　　）

• A． 先变小，后变大
• B． 先变大，后变小
• C． DE与OD的长度保持相等
• D． 固定不变

Answer 1

分析 连接AB，作OF⊥AB于F，由等腰三角形的性质得出AF=BF，∠OAF=30°，得出OF=$\frac{1}{2}$OA=2，由勾股定理求出AF，得出AB长度，根据垂径定理得出D、E分别是BC、AC中点，根据三角形中位线求出即可．

解答 解：连接AB，作OF⊥AB于F，如图所示：
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴AF=BF，∠OAF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴AF=$\sqrt{O{A}^{2}-O{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2AF=4$\sqrt{3}$，
∵OD⊥AC于点D，OE⊥BC于点E，
∴点D、E分别是BC和CA的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$；
故选：D．

点评 本题考查了三角形中位线，垂径定理，勾股定理的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．