Question

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，CB=6，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，CD=5．
（1）求线段AC的长；
（2）求线段AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得到AB=2CD=10，根据勾股定理计算即可；
（2）连接BE，设AE=x，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE=x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵AB的垂直平分线，
∴CD为中线，
∵∠C=90°，
∴AB=2CD=10，
∵∠C=90°，
∴$AC=\sqrt{A{B^2}-B{C^2}}=\sqrt{100-36}=8$；
（2）连接BE，
设AE=x，
∵AB的垂直平分线，
∴BE=AE=x，
∴CE=8-x，
∵∠C=90°，
∴CE²+BC²=BE²，
∴（8-x）²+6²=x²，
解得：$x=\frac{25}{4}$，
∴线段AE的长为$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质和勾股定理的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．