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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,PC切⊙O于C,AE⊥PC交PC的延长线于E,AE交⊙O于D,PC与AB的延长线相交于点P,连接AC、BC.

(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若PB:PC=1:2,PB=4,求AB的长.

【答案】
(1)

解:(1)如图所示:连结OC.

∵PC是⊙O的切线,

∴OC⊥EP.

又∵AE⊥PC,

∴AE∥OC.

∴∠EAC=∠ACO.

又∵∠ACO=∠AOC,

∴∠EAC=∠OAC.

∴AC平分∠BAD;


(2)

解:(2)∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°,

∴∠BAC+∠ABC=90°.

∵OB=OC,

∴∠OCB=∠ABC.

∵∠PCB+∠OCB=90°,

∴∠PCB=∠PAC.

∵∠P=∠P,

∴△PCA∽△PBC,

=

∴PA= =16.

∴AB=PA﹣PB=16﹣4=12.


【解析】(1)先AE∥OC,然后依据平行线的性质可得到∠EAC=∠ACO.,接下来由∠ACO=∠AOC,可证明∠EAC=∠OAC;(2)先证明∠PCB=∠PAC,从而可证明△PCA∽△PBC,依据相似三角形的性质可求得PA的长,最后依据AB=PA﹣PB求解即可.

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