Question

△ABC内接于⊙O且AB＞AC，直径PD⊥BC，过P作PE⊥AB于E，PF⊥CA的延长线于F，求证：AE=

1

2

（AB-AC）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：计算题

分析：连接PA，PB，PC，由直径PD垂直于BC，利用垂径定理得到PD平分BC，即PD垂直平分BC，得到PB=PC，利用等边对等角得到一对角相等，由圆内接四边形外角等于它的内对角得到一对角相等，再利用同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换得到∠PAF=∠PAE，利用AAS得到三角形PAF与三角形PAE全等，利用全等三角形对应边相等得到PE=PF，利用HL得到直角三角形PBE与直角三角形PCF全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=CF，根据AB-AE=BE，CF=AF+AC，等量代换即可得证．

解答：解：连接PA，PB，PC，
∵直径PD⊥BC，
∴PD平分BC，即PD垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵∠PAF=∠PBC，∠PAE=∠PCB，
∴∠PAF=∠PAE，
在△APF和△APE中，

∠PAF=∠PAE ∠PFA=∠PEA=90° PA=PA

，
∴△APF≌△APE（AAS），
∴PE=PF，
在Rt△PBE与Rt△PCF中，

PE=PF PB=PC

，
∴Rt△PBE≌与Rt△PCF（HL），
∴BE=FC，
∴AB-AE=AC+AF，
∴2AE=AB-AC，
∴AE=

1

2

（AB-AC）．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．