Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC的角平分线交AC于N，NM∥BC，NH⊥BC于H，P在直线MN上，过点P作边AB、AC的垂线分别为E、F．
（1）如图1，当点P在线段MN上时，判断PE、PF、NH之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，当点P在线段MN的延长线上时，则PE、PF、NH之间的数量关系为

 

（3）如图3，在（2）条件下，当∠A=36°，PE=6，△APN的面积等于△NBC的面积时，求PF的长？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：解题思想

分析：（1）PE+PF=NH，过点N作DN⊥AB，垂足为D，过点P作PG⊥DN，垂足为G，则四边形EPGD是矩形，得到PE=DG，然后证明△PGN≌△NFP（AAS），得到PF=GN，由角平分线的性质，得到DN=NH，从而得到结论：PE+PF=NH．
（2）PE=PF+NH，基本思路同（1）．
（3）由（2）可知∠4=∠5=∠6，∵∠A=36°，AB=AC，可得AN=BN=BC，由△APN的面积等于△NBC的面积，可得AN•PF=BC•NH，∴PF=NH，进而得到PF=3．

解答：（1）PE+PF=NH，
证明：过点N作DN⊥AB，垂足为D，过点P作PG⊥DN，垂足为G，
则四边形EPGD是矩形，
∴PE=DG，
∵PG⊥DN，BD⊥DN，
∴PG∥DM，
∴∠AMN=∠GPN，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠C，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠GPN=∠FNP．
∵∠PGN=∠NFP=90°，PN=PN，
∴△PGN≌△NFP（AAS），
∴PF=GN，
∴EP+FP=DG+GN=DN，
∵BN平分∠ABC，ND⊥AB，NH⊥BC，
∴DN=NH，
即：PE+PF=NH．
（2）PE=PF+NH，
理由如下：
过点N分别作ND⊥AB，垂足为D，NG⊥EP，垂足为G，
则四边形DNGE是矩形，
∴DN=EG，DN∥EP，
∴∠1=∠3，
∵BN平分∠ABC，MN∥BC，
∴∠5=∠6=∠4，
∴BM=MN，
∵BM=NC，
∴MN=NC，
∵DN=NH，
∴Rt△MND≌Rt△CNH（HL），
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵MN∥BC，NH⊥BC，
∴NH⊥MN，
∴∠2+∠7=90°
∵∠3+∠GNP=90°，
∴∠7=∠GNP，
∵∠NGP=∠NFP=90°，NP=NP，
∴△PGN≌△PFN（AAS），
∴PF=PG，
∵DN=NH，
∴PF+NH=PG+DN=PG+EG=EP，
即：EP=PF+NH．
（3）解：由（2）可知∠4=∠5=∠6，
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠4=∠5=∠6=∠A=36°，∠C=∠BNC=72°，
∴AN=BN=BC，
∵△APN的面积等于△NBC的面积，
∴AN•PF=BC•NH，
∴PF=NH，
∵EP=PF+NH，PE=6，
∴PF=3．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决的此题基本思想是“截长法”，证明两条短线段之和等于长线段．