Question

已知△ABC是等边三角形，∠FBG=30°，FB=FG，CH⊥BC交AG于H，求证：FH⊥HC．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：作AM⊥BC，BQ⊥AC，FP⊥BQ，FR⊥BC，GN⊥BC延长线于N，设AB=BC=AC=a，BF=b，根据AM⊥BC，FR⊥BC，GN⊥BC，得出AM∥FR∥GN，求出∠CBQ=∠FBG，从而得出∠FBQ=∠GBM，求出BQ=

3

2

a，再根据相似三角形的性质得出BN的值，再根据直角三角形的性质，得出FR=CH，最后根据FR∥CH，CH⊥BC，得出四边形CHFR是矩形，从而得出答案．

解答：解：作AM⊥BC，BQ⊥AC，FP⊥BQ，FR⊥BC，GN⊥BC延长线于N，
设AB=BC=AC=a，BF=b，
∵AM⊥BC，FR⊥BC，GN⊥BC，
∴AM∥FR∥GN，∠CBQ=∠FBG=30°，
∴∠FBQ=∠GBM，BQ=

3

2

a，
∵△BGF是等腰三角形，∠FBG=30°，
∴BG=2BP=

3

b，
可证△BGN∽△BQF，
∴

BQ

BN

=

BF

BG

=

QF

GN

，
即

3 2 a

BN

=

b

3 b

，
∴BN=

3

2

a，
∴CN=BN-BC=

1

2

a=CM，
∴CH是梯形AMNG的中位线，
∴CH=

1

2

（GN+AM），
∵QF=

BF2-BQ2

=

b2- 3 4 a2

=

1

2

4b2-3a2

，
∴GN=

QF•BG

BF

=

1 2 4b2-3a2 × 3 b

b

=

3

2

4b2-3a2

，
∵AM=

3

2

a，
∴CH=

1

2

（

3

2

a+

3

2

4b2-3a2

）=

3

4

（a+

4b2-3a2

），
CF=CQ+QF=

1

2

a+

1

2

b2-3a2

，
∴FR=

3

2

CF=

3

4

（a+

4b2-3a2

）=CH，
∵FR∥CH，CH⊥BC，
∴四边形CHFR是矩形，
∴FH⊥CH．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、矩形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握性质定理是解题的关键．