Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交AB于D，AD＜AC，过C，D两点作⊙O且圆心O在BC上．若CD=5，△ADC的面积为6，求半径．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：如图，连接DE，首先证明△ACD∽△DCE，进而得到EC=

DC2

AC

；利用勾股定理及面积公式求出AD、AC的长度，即可解决问题．

解答：解：如图，连接DE；
∵EC为⊙O的直径，
∴∠EDC=90°；
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD；而∠A=90°，
∴△ACD∽△DCE，
∴

AC

DC

=

DC

EC

，
设AD=x，AC=y；
由题意得：

x2+y2=52 1 2 xy=6

，
解得：x=3，y=4，
∴DC²=9+16=25，
∴EC=

25

4

，
故⊙O的半径为

25

8

．

点评：该命题以圆为载体，以圆周角定理及其推论、相似三角形的判定及其性质的应用为考查的核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．