Question

已知：如图，∠B=90°，AB∥DF，AB=4cm，BD=10cm，点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE．
（1）试说明：∠ACB=∠CED；
（2）若AC=CE，试求DE的长；
（3）在线段BD的延长线上，是否存在点C，使得AC=CE？若存在，请求出DE的长及△AEC的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据∠DCE+∠CED=90°和∠ACB+∠DCE=90°即可解题；
（2）根据（1）中结论易证△ABC≌△CDE，可得DE=BC，AB=CD，即可求得DE的长；
（3）找到C点使得CD=AB，连接AC，作CE⊥AE交FD延长线于点E，连接AE，易证△ACB≌△CED，可得AC=CE，DE=BC，根据勾股定理可以求得AC的值，即可求得△ACE的面积，即可解题．

解答：解：（1）∵∠DCE+∠CED=90°，∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠ACB=∠CED；
（2）在△ABC和△CDE中，

∠B=∠D=90° ∠ACB=∠CED AC=CE

，
∴△ABC≌△CDE，（AAS）
∴CD=AB，BC=DE，
∵CD=AB=4，BD=10，
∴DE=BC=BD-CD=BD-AB=6；
（3）找到C点使得CD=AB，连接AC，作CE⊥AE交FD延长线于点E，连接AE，

∵∠ACB+∠A=90°，∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠A=∠DCE，
在△ACB和△CED中，

∠A=∠DCE AB=CD ∠B=∠CDE=90°

，
∴△ACB≌△CED（ASA），
∴CE=AC，
∴DE=BC=AB+BD=14，
此时AC=

BC2+AB2

=

212

，
∴S_△ACE=

1

2

AC•CE=

1

2

×212=106．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABC≌△CDE和△ACB≌△CED是解题的关键．