Question

【题目】八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
（1）【探究与发现】 如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形
（2）【理解与应用】 填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是
（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC=BC，求证：AQ=2AD．

Answer 1

【答案】
（1）△ACD≌△EBD
（2）1＜x＜4
（3）证明：如图3，延长AD到M，使MD=AD，连接BM，

∴AM=2AD，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

在△BMD与△CAD中，

，

∴△BMD≌△CAD，

∴BM=CA，∠M=∠CAD，

∴∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M，

∵∠ACB=∠Q+∠CAQ，AB=BC，

∵∠ACQ=180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA=180°﹣（∠BAM+∠M），

∴∠ACQ=∠MBA，

∵QC=BC，

∴QC=AB，

在△ACQ与△MBA中，

，

∴△ACQ≌△MBA，

∴AQ=AM=2AD．

【解析】（1.）证明：在△ADC与△EDB中， ，
∴△ADC≌△EDB；
所以答案是：△ADC≌△EDB；
（2.）解：如图2，

延长EP至点Q，使PQ=PE，连接FQ，
在△PDE与△PQF中，
，
∴△PEP≌△QFP，
∴FQ=DE=3，
在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，
即5﹣3＜2x＜5+3，
∴x的取值范围是1＜x＜4；
所以答案是：1＜x＜4；