Question

【题目】如图，已知的直径AB垂直弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB延长线于点G，连结CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．

（1）求证：CG是⊙O的切线；

（2）若AB=4，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）已知点C在圆上，根据平行线的性质可得∠FCG=90°，即OC⊥CG；故CG是⊙O的切线．

（2）连接BD，先通过证明△BDE∽△OCE ，推出，再由Rt△OCE中，通过三角函数的定义，可得CE=OE×cot30°，故代入OE=1可得CE的长．

（1）由题意知点C在圆上，

∵CF⊥AD，

∴∠AFC=90°

∵CG∥AD，

∴∠FCG=90°，

∴OC⊥CG．

∴CG是⊙O的切线；

（2）解：连接BD，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

又∵∠AFO=90°，

∴∠ADB=∠AFO，∴CF∥BD．

∴△BDE∽△OCE．

∵AE⊥CD，且AE过圆心O，

∴CE=DE．

∴BE=OE．

∵AB=4，AB⊥CD

∴，

又∵，

∴

∵AB⊥CD，

∴CD=2CE=．