Question

11．已知，如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CD⊥AD于F，且BC=DC．
（1）BE与DF是否相等？请说明理由；
（2）若DF=1，AD=3，求AB的长；
（3）若△ABC的面积是23，△ADC面积是18，直接写出△BEC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据HL证明Rt△BCE与Rt△DCF全等，再利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可；
（3）利用三角形的面积公式解答即可．

解答 解：（1）相等，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，
在Rt△BCE与Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），
∴BE=DF；
（2）∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴DF=EB，CE=CF，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACERt△ACF（HL），
∴AF=AE，
∵DF=1，AD=3，
∴AB=AF+BE=AD+DF+BE=5；
（3）∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∵△ABC的面积是23，△ADC面积是18，
∴△BEC的面积=$\frac{1}{2}×（23-18）=2.5$．

点评 本题考查了全等三角形的性质和角平分线定义，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．