Question

已知半圆O中，直径AB=2，作弦DC∥AB，设AD=x，四边形ABCD的周长为y，求：y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：连接BD，过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，设CD=a，由平行得到弧AD=弧BC，推出AD=BC，得出矩形CDEF，根据矩形的性质推出CD=EF，证△CFB≌△DEA，求出AEBF=

2-a

2

，根据勾股定理求出BD，DE，关键三角形的面积公式求得a的值，则梯形的周长可以求得，即可得到y与x的函数关系式．

解答：解：连接BD，过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，设CD=a，
∵CD∥AB，
∴弧AD=弧BC，
∴AD=BC，
∴四边形CDEF是矩形，
∴CD=EF，
在直角△CFB和直角△DEA中，

AD=BC DE=CF

∴△CFB≌△DEA（HL），
∴AE=BF=

2-a

2

，
在△ADB中由勾股定理得：BD=

AB2-AD2

=

4-x2

，
在△AED中由勾股定理得DE=

AD2-AE2

=

x2- (2-a)2 4

，
根据三角形的面积公式得：

1

2

×2×

x2- (2-a)2 4

=

1

2

×x×

4-x2

，
解得：a=2+x²（舍去），a=2-x²，
y与x的函数关系式为：y=2+x+x+2-x²=-x²+2x+4．即y=-x²+2x+4（0＜x＜

2

）．

点评：本题主要考查对勾股定理，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，圆心角，弧，弦之间的关系，等腰梯形的性质，平行线的性质，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．