Question

如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且∠B=60°．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，求菱形ABCD的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,菱形的性质

专题：证明题

分析：（1）连接OA、OB、OC，如图，根据菱形的性质得BA=BC，∠D=∠ABC=60°，则利用圆周角定理得∠AOC=2∠D=120°，再根据“SSS”判断△OBA≌△OBC，得到∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1=

1

2

∠ABC=30°，∠3=

1

2

∠AOC=60°，于是可计算出∠OAB=90，然后根据切线的判定定理可得AB为⊙O的切线；
（2）作AM⊥BC于点M，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△OAB中计算出AB=

3

OA=

3

，在Rt△ABM中计算出BM=

1

2

AB=

3

2

，AM=

3

BM=

3

2

，
然后根据菱形的面积公式求解．

解答：（1）证明：连接OA、OB、OC，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠D=∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠D=120°，
在△OBA和△OBC中

OA=OC OB=OB AB=CB

，
∴△OBA≌△OBC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=

1

2

∠ABC=30°，∠3=

1

2

∠AOC=60°，
∴∠OAB=180°-∠1-∠3=90，
∴OA⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：作AM⊥BC于点M，如图，
⊙O的半径为1，即OA=1，
在Rt△OAB中，∵∠1=30°，
∴AB=

3

OA=

3

，
在Rt△ABM中，∵∠BAM=30°，
∴BM=

1

2

AB=

3

2

，
∴AM=

3

BM=

3

2

，
∵BC=AB=

3

，
∴S_菱形ABCD=

3

2

•

3

=

3 3

2

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了菱形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．