Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2cm，求△ABC的周长与面积．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：计算题

分析：连接OD、OE、OF，如图，利用切线的性质得∠OEC=∠OFC=90°，则四边形OECF为正方形，得到CE=CF=OE=2，BF=BC-CF=3，再根据切线长定理得BD=BF=3，AD=AE；在△ABC中，设AD=AE=x，根据勾股定理得到5²+（x+2）²=（x+3）²，解得x=10，则AC=12，AB=13，然后根据△ABC的周长和面积．

解答：解：连接OD、OE、OF，如图，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC=∠OFC=90°，
而∠C=90°，
∴四边形OECF为正方形，
∴CE=CF=OE=2，
∴BF=BC-CF=5-2=3，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴BD=BF=3，AD=AE，
在△ABC中，设AD=AE=x，
∵BC²+AC²=AB²，
∴5²+（x+2）²=（x+3）²，解得x=10，
∴AC=x+2=12，AB=x+3=13，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=13+12+5=30，
△ABC的面积=

1

2

AC•BC=

1

2

×12×5=30．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．