Question

19．已知实数a满足a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$-3a-$\frac{3}{a}$=8，求a+$\frac{1}{a}$的值．
解：a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$-3a-$\frac{3}{a}$-8=0．
a²+2•a•$\frac{1}{a}$+（$\frac{1}{a}$）²-3（a+$\frac{1}{a}$）-10=0．
∴（a+$\frac{1}{a}$）²-3（a+$\frac{1}{a}$）-10=0．
∴a+$\frac{1}{a}$=5，或a+$\frac{1}{a}$=-2．

Answer 1

分析 利用配方法将已知方程转化为关于（a+$\frac{1}{a}$）的方程，然后利用因式分解法解方程即可．

解答 解：a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$-3a-$\frac{3}{a}$-8=0．
a²+2•a•$\frac{1}{a}$+（$\frac{1}{a}$）²-3（a+$\frac{1}{a}$）-10=0．
∴（ a+$\frac{1}{a}$）²-3（a+$\frac{1}{a}$）-10=0．
∴（ a+$\frac{1}{a}$-5）（ a+$\frac{1}{a}$+2）=0
∴a+$\frac{1}{a}$=5，或a+$\frac{1}{a}$=-2．
故答案是：a+$\frac{1}{a}$；5；-2．

点评 本题考查了换元法解分式方程．将已知方程转化为以 （a+$\frac{1}{a}$）为未知数的一元二次方程是解题的难点．