Question

【题目】△ABC中，BC=12， 高AD=8，矩形EFGH的一边GH在BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，AD与EF交于点M．

(1)求证：；

(2)矩形EFGH可以为正方形吗?若能，请求出正方形的面积，若不能，请说明理由；

(3)设EF=x， EH=y，设矩形EFGH的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）能，SEHGF=；（3）S=-x2+8x，当x=6时S最大=24

【解析】

（1）先判断出AM是△AEF的高，再判断出△AEF∽△ABC，即可得出结论；

（2）假设EFGH为正方形设EF=m，则AM=8-m，列出方程求出m的值即可得出答案；

（3）先判断出四边形EMDG是矩形，得出DM＝EH，进而表示出AM＝8﹣y，借助（1）的结论即可得出结论；由矩形的面积公式得出函数关系式，即可得出结论．

（1）证明：∵矩形EFGH

∴EF∥BC

∵AD⊥BC

∴AD⊥EF

又∵△AEF∽△ABC

∴

（2）能，解：假设EFGH为正方形设EF=m

∴AM=8-m

∴

∴m=

∴假设成立SEHGF=

（3）∵EH=y

∴AM=8-y

∵

∴

∴y=8-x

∵S=xy

∴S=x(8-x)

∴S=-x2+8x=-(x-6)2+24

∴a=-＜0、

∴当x=6时S最大=24