【题目】如图①,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去四个全等的等腰直角三角形(阴影部分所示),其中E,F在AB上;再沿虚线折起,点A,B,C,D恰好重合于点O处(如图②所示),形成有一个底面为正方形GHMN的包装盒,设AE=x (cm).
(1)求线段GF的长;(用含x的代数式表示)
(2)当x为何值时,矩形GHPF的面积S (cm2)最大?最大面积为多少?
(3)试问:此种包装盒能否放下一个底面半径为15cm,高为10cm的圆柱形工艺品,且使得圆柱形工艺品的一个底面恰好落在图②中的正方形GHMN内?若能,请求出满足条件的x的值或范围;若不能,请说明理由.
【答案】
(1)解:∵AE=BF=x,
∴EF=AB﹣AE﹣BF=60﹣2x.
∴在Rt△GEF中,GF= EF= ×(60﹣2x)=30 ﹣ x;
(2)解:∵NG= AE= x,即GH=NG= x,
∴S= x (30 ﹣ x)=﹣2x2+60x
=﹣2(x﹣15)2+450;
∵﹣2<0,
∴当x=15时,S最大=450;
(3)解:能放下.
理由是:当圆柱形工艺品与GHMN相切时,x=15 ,
此时,30 ﹣ x=30 ﹣15 × =30 ﹣30>10,故一定能放下.
根据题意得:
解得:15 ≤x≤30﹣5 .
【解析】(1)主要考查切去的图形为等腰直角三角形,等腰直角三角形的边比为1:1:,根据边比的关系,即可分别写出对应边的量。
(2)因为剪去的为等腰直角三角形,所以对应的△FBP也为等腰直角三角形,即GH=NG,底面为正方形,即可表达出S的表达式,利用二次函数进行求最值。(3)根据圆柱工艺品的高和底面半径列出相应的不等式进行求解即可。
【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值和正多边形和圆的相关知识点,需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a;圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角;圆的外切四边形的两组对边的和相等才能正确解答此题.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,∠BCD=135°,且AB=3cm,BC=7cm,CD=5cm,点M从点A出发沿折线A﹣B﹣C﹣D运动到点D,且在AB上运动的速度为cm/s,在BC上运动的速度为1cm/s,在CD上运动的速度为cm/s,连接AM、DM,当点M运动时间为_____(s)时,△ADM是直角三角形.
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【题目】如图,扇形OMN与正方形ABCD,半径OM与边AB重合,弧MN的长等于AB的长,已知AB=2,扇形OMN沿着正方形ABCD逆时针滚动到点O首次与正方形的某顶点重合时停止,则点O经过的路径长 .
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【题目】若实数可以表示成两个连续自然数的倒数差,例如,,所以是第1个“l阶倒差数”倒差数”,,所以是第2个“l阶倒差数”,,所以是第3个“l阶倒差数”……,即,那么我们称是第个“l阶倒差数”;同理,那么我们称为第个“2阶倒差数”。
(l)判断 ______(填是或不是)“1阶倒差数”,第5个“2阶倒差数”是______
(2)若均是由两连续奇数组成的“2阶倒差数”,且.求的值.
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【题目】如图是8×8的正方形网格,每个小方格都是边长为1的正方形,A、B是格点(网格线的交点).以网格线所在直线为坐标轴,在网格中建立平面直角坐标系xOy,使点A坐标为(﹣2,4).
(1)在网格中,画出这个平面直角坐标系;
(2)在第二象限内的格点上找到一点C,使A、B、C三点组成以AB为底边的等腰三角形,且腰长是无理数,则点C的坐标是 ;并画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线:与直线:交于点,与y轴交于点,与x轴交于点C.
求直线的函数表达式;
求的面积;
在平面直角坐标系中有一点,使得,请求出点P的坐标;
点M为直线上的动点,过点M作y轴的平行线,交于点N,点Q为y轴上一动点,且为等腰直角三角形,请直接写出满足条件的点M的坐标.
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【题目】如图,已知矩形ABCD,点E在边AD上,连接BE将△ABE沿BE翻折,得到△MBE,且点M是CD中点,取BM中点N,点P为线段BE上一动点,连接PN,PM,若AD长为2,则PM+PN的最小值为_____.
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【题目】在实施“城乡危旧房改造工程”中,河西区计划推出A、B两种新户型根据预算,建成10套A种户型和30套B种户型住房共需资金480万元,建成30套A种户型和10套B种户型住房共需资金400万元
在危旧房改造中建成一套A种户型和一套B种户型住房所需资金分别是多少万元?
河西区有800套住房需要改造,改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担,若国家补贴拨付的改造资金不少于2100万元,河西区财政投入额资金不超过7700万元,其中国家财政投入到A、B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元
请你计算求出A种户型至少可以建多少套?最多可以建多少套?
设这项改造工程总投入资金W万元,建成A种户型m套,写出W与m的关系式,并求出最少总投入.
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【题目】如图,已知四边形ABCD的顶点为A(1,2),B(-1,2),C(-1,-2),D(1,-2),点M和点N同时从E(0,2)点出发,沿四边形的边做环绕匀速运动,M点以1单位/s的速度做逆时针运动,N点以2单位/s的速度做顺时针运动,则点M和点N第2017次相遇时的坐标为_____.
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