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【题目】如图①,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去四个全等的等腰直角三角形(阴影部分所示),其中E,F在AB上;再沿虚线折起,点A,B,C,D恰好重合于点O处(如图②所示),形成有一个底面为正方形GHMN的包装盒,设AE=x (cm).

(1)求线段GF的长;(用含x的代数式表示)
(2)当x为何值时,矩形GHPF的面积S (cm2)最大?最大面积为多少?
(3)试问:此种包装盒能否放下一个底面半径为15cm,高为10cm的圆柱形工艺品,且使得圆柱形工艺品的一个底面恰好落在图②中的正方形GHMN内?若能,请求出满足条件的x的值或范围;若不能,请说明理由.

【答案】
(1)解:∵AE=BF=x,

∴EF=AB﹣AE﹣BF=60﹣2x.

∴在Rt△GEF中,GF= EF= ×(60﹣2x)=30 x;


(2)解:∵NG= AE= x,即GH=NG= x,

∴S= x (30 x)=﹣2x2+60x

=﹣2(x﹣15)2+450;

∵﹣2<0,

∴当x=15时,S最大=450;


(3)解:能放下.

理由是:当圆柱形工艺品与GHMN相切时,x=15

此时,30 x=30 ﹣15 × =30 ﹣30>10,故一定能放下.

根据题意得:

解得:15 ≤x≤30﹣5


【解析】(1)主要考查切去的图形为等腰直角三角形,等腰直角三角形的边比为1:1:,根据边比的关系,即可分别写出对应边的量。
(2)因为剪去的为等腰直角三角形,所以对应的△FBP也为等腰直角三角形,即GH=NG,底面为正方形,即可表达出S的表达式,利用二次函数进行求最值。(3)根据圆柱工艺品的高和底面半径列出相应的不等式进行求解即可。
【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值和正多边形和圆的相关知识点,需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a;圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角;圆的外切四边形的两组对边的和相等才能正确解答此题.

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