【题目】如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,∠BCD=135°,且AB=3cm,BC=7cm,CD=5cm,点M从点A出发沿折线A﹣B﹣C﹣D运动到点D,且在AB上运动的速度为cm/s,在BC上运动的速度为1cm/s,在CD上运动的速度为cm/s,连接AM、DM,当点M运动时间为_____(s)时,△ADM是直角三角形.
【答案】12﹣ 或 .
【解析】
过点D作DE⊥BC,根据∠BCD=135°,得∠ECD=45°,在Rt△CDE中,由CD=5cm,可得出CE=DE=5cm,再根据当点M在AB上时,△ADM是钝角三角形;当点M在BC上时,△ADM有可能是直角三角形;当点M在CD上时,△ADM是钝角三角形;分两种情形分别求解即可.
解:过点D作DE⊥BC,垂足为E,
∵∠BCD=135°,
∴∠ECD=45°,
在Rt△CDE中,∵CD=5cm,
∴由勾股定理得CE=DE=5cm,
∴当点M在AB上时,△ADM是钝角三角形;
当点M在CD上时,△ADM是钝角三角形;
当点M在BC上时,△ADM有可能是直角三角形;
①当∠AMD=90°时,∵∠B=90°,
∴∠BAM+∠AMB=90°,
∵∠AMD=90°,
∴∠AMB+∠DME=90°,
∴∠MAB=∠DME,
∴△ABM∽△MED,
∴ ,
∵在AB上运动的速度为 cm/s,在BC上运动的速度为1cm/s,
∴设运动时间为t,
∵AB=3cm,BC=7cm,
∴BM=(t﹣6)cm,
∴ME=MC+EC=7﹣(t﹣6)+5=(18﹣t)cm,
∴ ,
解得t=12 (舍去正号)
∴t=12﹣ .
②当∠MAD=90°时,作AH⊥DE于H.
由△BAM∽△HAD,可得,
∴ = ,
∴BM= ,
∴t-6= ,解得t= ,
综上所述,t=12﹣ 或时,△ADM是直角三角形.
故答案为:12﹣ 或 .
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【题目】如图,O为坐标原点,点A(1,5)和点B(m,1)均在反比例函数y= 图象上.
(1)求m,k的值;
(2)设直线AB与x轴交于点C,求△AOC的面积.
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【题目】(一)问题提出:如何把n个边长为1的正方形,剪拼成一个大正方形?
(二)解决方法
探究一:若n是完全平方数,我们不用剪切小正方形,可直接将小正方形拼成一个大正方形,如图(1),用四个边长为1的小正方形可以拼成一个大正方形.
问题1:请用9个边长为1的小正方形在图(2)的位置拼成一个大正方形.
探究二:若n=2,5,10,13等这些数,都可以用两个正整数的平方和来表示,以n=5为例,用5个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形.
(1)计算:拼成的大正方形的面积为5,边长为,可表示成;
(2)剪切:如图(3)将5个小正方形按如图所示分成5部分,虚线为剪切线;
(3)拼图:以图(3)中的虚线为边,拼成一个边长为的大正方形,如图(4).
问题2:请仿照上面的研究方式,用13个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形;
(1)计算:拼成的大正方形的面积为____,边长为_____,可表示成____;
(2)剪切:请仿照图(3)的方法,在图(5)的位置画出图形.
(3)拼图:请仿照图(4)的方法,在图(6)的位置出拼成的图.
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【题目】如图,长方形ABCD中,AB=6,第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位,得到长方形A1B1C1D1,第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位,得到长方形A2B2C2D2,…,以此类推,第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向向右平移5个单位,得到长方形AnBnCnDn(n>2),则ABn长为 ( )
A. 5n+6B. 5n+1C. 5n+4D. 5n+3
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【题目】某公司为一种新型电子产品在该城市的特约经销商,已知每件产品的进价为40元,该公司每年销售这种产品的其他开支(不含进货价)总计100万元,在销售过程中得知,年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间存在如表所示的函数关系,并且发现y是x的一次函数.
销售单价x(元) | 50 | 60 | 70 | 80 |
销售数量y(万件) | 5.5 | 5 | 4.5 | 4 |
(1)求y与x的函数关系式;
(2)问:当销售单价x为何值时,该公司年利润最大?并求出这个最大值;
【备注:年利润=年销售额﹣总进货价﹣其他开支】
(3)若公司希望年利润不低于60万元,请你帮助该公司确定销售单价的范围.
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【题目】工厂工人小李生产A、B两种产品.若生产A产品10件,生产B产品10件,共需时间350分钟;若生产A产品30件,生产B产品20件,共需时间850分钟.
(1)小李每生产一件种产品和每生产一件种产品分别需要多少分钟;
(2)小李每天工作8个小时,每月工作25天.如果小李四月份生产种产品件(为正整数).
①用含的代数式直接表示小李四月份生产种产品的件数;
②已知每生产一件产品可得1.40元,每生产一件种产品可得2.80元,若小李四月份的工资不少于1500元,求的最大值.
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【题目】如图,已知∠1=∠2,∠5=∠6,∠3=∠4,试说明AE∥BD,AD∥BC.请完成下列证明过程.
证明:
∵∠5=∠6,
∴AB∥CE( ),
∴∠3=__________
∵∠3=∠4,
∴∠4=∠BDC( ),
∴ ∥BD( ),
∴∠2= ( )
∵∠1=∠2,
∴∠1=______,
∴AD∥BC
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【题目】如图①,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去四个全等的等腰直角三角形(阴影部分所示),其中E,F在AB上;再沿虚线折起,点A,B,C,D恰好重合于点O处(如图②所示),形成有一个底面为正方形GHMN的包装盒,设AE=x (cm).
(1)求线段GF的长;(用含x的代数式表示)
(2)当x为何值时,矩形GHPF的面积S (cm2)最大?最大面积为多少?
(3)试问:此种包装盒能否放下一个底面半径为15cm,高为10cm的圆柱形工艺品,且使得圆柱形工艺品的一个底面恰好落在图②中的正方形GHMN内?若能,请求出满足条件的x的值或范围;若不能,请说明理由.
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