Question

如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB，AD为BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作B C的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC≌△CEB；②AB=CE；③∠ADC=∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：①由条件可知∠ECD+∠ADC=∠E+∠ECD=90°，可得到∠E=∠ADC，再结合条件可证明△ADC≌△CEB；②由①可知CE=AD，显然AB＞AD，故AB≠CE；③BE=CD=BD，结合条件可证明△BEF≌△BDF，则有∠E=∠BDF=∠ADC，可得结论；④由③可得EF=DF，而DF＞FG，故F不可能为EG中点．

解答：解：
∵∠BCA=90°，CG⊥AD，
∴∠ECD+∠ADC=∠E+∠ECD=90°，
∴∠E=∠ADC，
∵BE⊥BC，
∴∠EBC=∠ACD，
在△ADC和△CEB中

∠ACD=∠CBE ∠DAC=∠E AC=BC

∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴①正确；
∵△ADC≌△CEB，
∴CE=AD，
在△ABD中，AB＞AD，
∴AB≠CE，
∴②不正确；
∵△ADC≌△CEB，且D为BC中点，
∴BE=CD=BD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠DBF=∠EBF=45°，
在△BEF和△BDF中

BE=BD ∠DBF=∠EBF BF=BF

∴△BEF≌△BDF（SAS），
∴∠E=∠BDF，又∠E=∠ADC，
∴∠ADC=∠BDF，
∴③正确；
∵△BEF≌△BDF，
∴EF=DF，
在R△DFG中，DF＞FG，
∴EF＞FG，
∴F不是EG的中点，
∴④不正确；
综上可知正确的有①③共两个，
故选B．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．