Question

如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P点作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：
①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S_△ACD：S_△ABD=AC：AB，
其中结论正确的序号是（　　）

• A、①③
• B、①②③④
• C、①②③
• D、②③

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：根据三角形全等的判定和性质、角平分线定理以及三角形内角和定理逐条分析判断．

解答：解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=

1

2

（∠A+∠B）=45°，
∴∠APB=135°，故①正确．

易求∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
在△ABP与△FBP中，

∠APB=∠FPB ∠ABP=∠FBP BP=BP

，
∴△ABP≌△FBP（AAS），
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．

在△APH和△FPD中，

∠APH=∠FPD=90° ∠PAH=∠BFP PA=PF

，
∴△APH≌△FPD（AAS），
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD．故③正确．
∵分别以AB、AC为底计算△ABD的面积与△ACD的面积，由于高相等（角平分线上任意一点到角的两边距离相等），
∴S_△ACD：S_△ABD=AC：AB．故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④．
故选：B．

点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．