【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=x﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D为直线AC下方抛物线上一点,且∠ACD=2∠BAC,求点D的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣2;(2)D(2,﹣3)
【解析】
(1)求出A、C两点坐标,利用待定系数法即可解决问题;
(2)过点D作DF∥x轴,交y轴于点E,则∠CFD=∠BAC,推出∠CDF=∠CFD,可得∠ACD=2∠BAC,由此利用三角函数构建方程即可解决问题;
解:(1)直线y=x﹣2与x轴交于点A, 与y轴交于点C,x=0时,y=-2,y=0时,x=4,所以A(4,0),C(0,﹣2),
把A(4,0),C(0,-2)代入y= x2+bx+c,得到,
解得,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2.
(2)过点D作DF∥x轴,交y轴于点E,则∠CFD=∠BAC,
∵∠ACD=2∠BAC=∠CFD+∠CDF,
∴∠CDF=∠CFD,
∴tan∠CDF=tan∠BAC=,
∴
解得x=2,
∴D(2,﹣3).
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【题目】已知点A(a,m)在双曲线y=上且m<0,过点A作x轴的垂线,垂足为B.
(1)如图1,当a=﹣2时,P(t,0)是x轴上的动点,将点B绕点P顺时针旋转90°至点C,
①若t=1,直接写出点C的坐标;
②若双曲线y=经过点C,求t的值.
(2)如图2,将图1中的双曲线y=(x>0)沿y轴折叠得到双曲线y=﹣(x<0),将线段OA绕点O旋转,点A刚好落在双曲线y=﹣(x<0)上的点D(d,n)处,求m和n的数量关系.
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【题目】已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴交于点A(-2,0),与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2,n),连结BO,若.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)若直线AB与y轴的交点为C,求△OCB的面积.
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【题目】在△ABC中,∠B=90°,AB=BC,点D是BC边上的一点,连接AD,将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE,作EF⊥BC交BC的延长线于点F.
(1)依题意补全图形;
(2)求证:EF=CF.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣2,与x轴的一个交点在(﹣3,0)和(﹣4,0)之间,其部分图象如图所示,则下列结论:①4a﹣b=0;②c<0;③﹣3b+4c>0;④4a﹣2b≥at2+bt(t为实数);⑤点(﹣,y1),(﹣,y2),(﹣,y3)是该抛物线上的点,则y1<y2<y3,其中正确的结论有( )
A. ②④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣2,与x轴的一个交点在(﹣3,0)和(﹣4,0)之间,其部分图象如图所示,则下列结论:①4a﹣b=0;②c<0;③﹣3b+4c>0;④4a﹣2b≥at2+bt(t为实数);⑤点(﹣,y1),(﹣,y2),(﹣,y3)是该抛物线上的点,则y1<y2<y3,其中正确的结论有( )
A. ②④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④
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【题目】瓦子街是上杭城关老城区改造的商业文化购物步行街,瓦子街某商场经营的某个品牌童装,购进时的单价是60元,根据市场调查,在一段时间内,销售单价是80元时,销售量是200件,销售单价每降低1元,就可多售出20件.
求出销售量件与销售单价元之间的函数关系式;
求出销售该品牌童装获得的利润元与销售单价元之间的函数关系式;
若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于76元且不高于80元,则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少?
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【题目】如图,过正方形ABCD顶点B,C的⊙O与AD相切于点E,与CD相交于点F,连接EF.
(1)求证:EF平分∠BFD.
(2)若tan∠FBC=,DF=,求EF的长.
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【题目】某数学兴趣小组,利用树影测量树高,如图(1),已测出树AB的影长AC为12米,并测出此时太阳光线与地面成30°夹角.
(1)求出树高AB;
(2)因水土流失,此时树AB沿太阳光线方向倒下,在倾倒过程中,树影长度发生了变化,假设太阳光线与地面夹角保持不变.求树的最大影长.(用图(2)解答)
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