Question

【题目】（2017山东省莱芜市）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣；③（S四边形CDEF）2=9+2；④DF2﹣DG2=7﹣2．其中正确结论的个数是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】解：①∵五方形ABCDE是正五边形，∴AB=BC，∠ABC=180°﹣=108°，∴∠BAC=∠ACB=36°，∴∠ACD=108°﹣36°=72°，同理得：∠ADE=36°，∵∠BAE=108°，AB=AE，∴∠ABE=36°，∴∠CBF=108°﹣36°=72°，∴BC=FC，∵BC=CD，∴CD=CF，∴∠CDF=∠CFD=（180°-72°）÷2=54°，∴∠FDG=∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE=108°﹣54°﹣36°=18°；

所以①正确；

②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAC=∠BAF，∴△ABF∽△ACB，∴，∴ABED=ACEG，∵AB=ED=2，AC=BE=BG+EF﹣FG=2AB﹣FG=4﹣FG，EG=BG﹣FG=2﹣FG，∴22=（2﹣FG）（4﹣FG），∴FG=3+＞2（舍），FG=3﹣；

所以②正确；

③如图1，∵∠EBC=72°，∠BCD=108°，∴∠EBC+∠BCD=180°，∴EF∥CD，∵EF=CD=2，∴四边形CDEF是平行四边形，过D作DM⊥EG于M，∵DG=DE，∴EM=MG=EG=（EF﹣FG）=（2﹣3+）=，由勾股定理得：DM== =，∴（S四边形CDEF）2=EF2×DM2=4×=10+2；

所以③不正确；

④如图2，连接EC，∵EF=ED，∴CDEF是菱形，∴FD⊥EC，∵EC=BE=4﹣FG=4﹣（3﹣）=1+，∴S四边形CDEF=/span>FDEC=2×，×FD×（1+）=，FD2=10﹣2，∴DF2﹣DG2=10﹣2﹣4=6﹣2，所以④不正确；

本题正确的有两个，故选B．