Question

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=x，AB=BC=2x，在线段AB上有一点E，∠DCE=45°，求tan∠DEC．

Answer 1

考点：直角梯形

专题：

分析：如图，作辅助线，首先证明△BCE≌△FCG，进而证明△DCE≌△DCG，得到DE=DG=BE+DF，∠DEC=∠G；借助勾股定理及直角三角形的边角关系即可解决问题．

解答：解：如图，延长AD，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F；延长DF到G，使FG=BE；
∵∠A=∠B=∠CFD=90°，且AB=BC，
∴四边形ABCF为正方形，
∴BC=CF；
在△BCE与△FCG中，

BE=FG ∠B=∠CFG BC=CF

，
∴△BCE≌△FCG（SAS），
∴CE=CG；∠BCE=∠FCG；∠BEC=∠G；
∴∠DCG=90°-∠DCE=90°-45°=45°，
∴∠DCE=∠DCG；
同理可证：△DCE≌△DCG，
∴DE=DG=BE+DF；∠DEC=∠G；
∴∠DEC=∠BEC；
设BE=m，而DF=x，
则DE=m+x；由题意得：
AE=2x-m，AD=x；
根据勾股定理：DE²=AE²+AD²，
即（x+m）²=（2x-m）²+x²
解得：m=

2

3

x，
∴tan∠DEC=tan∠BEC=

2x

2 3 x

=3，
即tan∠DEC的值为3．

点评：该命题以直角梯形为载体，以全等三角形的判定及其性质为考查的核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造正方形及全等三角形，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．