Question

【题目】如图，四边形ABCD与四边形OEFG都是正方形，O是正方形ABCD的中心，OE交BC于点M，OG交CD于点N，下列结论：①△ODG≌△OCE；②GD=CE；③OG⊥CE；④若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积等于1，其中正确的结论有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据O是正方形ABCD的中心以及四边形OEFG是正方形，利用SAS可证明△DOG≌△COE，根据全等三角形的性质可得DG=CE，由此可判定①②正确，由正方形OEFG可得OE⊥OG，从而可得OG不垂直CE，判定③错误，证明△DON≌△COM，从而可得S△DON=S△COM，继而根据正方形面积公式可求得S四边形OMCN=S△COD=1，判定④正确，据此即可得答案.

∵O是正方形ABCD的中心，

∴OD=OC，AC⊥BD，∠ODN=∠OCM=45°，

∴∠DOC=90°，

∵四边形OEFG是正方形，

∴OG=OE，∠EOG=90°，

∴∠DOG=∠COE，

在△DOG和△COE中，

，

∴△DOG≌△COE，

∴DG=CE，所以①②正确，

∵∠EOG=90°，

∴OE⊥OG，

过点E有且只有一条直线和OG垂直，

∴OG不垂直CE，所以③错误；

在△DON和△COM中，

，

∴△DON≌△COM，

∴S△DON=S△COM，

∴S四边形OMCN=S△COD，

∵正方形ABCD的边长为2，

∴S△COD=S正方形ABCD=1，

∴S四边形OMCN=S△COD=1，所以④正确，

即：正确的有①②④，

故选C．