Question

【题目】如图，是的直径，是的切线，连结，过点作交于点，延长，交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CD=12．

【解析】

（1）连接OD，根据切线的性质可得到∠OAC=90°，通过分析证明△CDO≌△CAO，可得OD⊥CE，即可得到结果；

（2）在Rt△ODE中，根据勾股定理可得圆的半径，根据平行线成比例得，即可得到结果；

（1）证明：连接OD，

∵AC为⊙O的切线，

∴AC⊥AB．

∴∠OAC=90°．

∵BD∥OC，

∴∠OBD=∠AOC，∠ODB=∠COD．

∵OB、OD为⊙O的半径，

∴OB=OD．

∴∠OBD=∠ODB．

∴∠AOC=∠DOC．

在△CDO和△CAO中，

∴△CDO≌△CAO（SAS）

∴∠CDO=∠CAO=90°．

∴OD⊥CE于D，且OD是半径，

∴CE是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△ODE中，∠ODE=90°，

∵，

∴，

∴，

∵BD∥OC，

∴，

又BE=4，DE=8，BO=，

∴，

∴２．