Question

【题目】已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点M（2，﹣3），与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线L的表达式；

（2）试判断抛物线L与x轴交点的情况；

（3）平移该抛物线，设平移后的抛物线为L′，抛物线L′的顶点记为P，它的对称轴与x轴交于点Q，已知点N（2，﹣8），怎样平移才能使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为菱形？

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）抛物线L与x轴有两个不同的交点；（3）将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L

【解析】

（1）将M、C两点的坐标代入y=-x2+bx+c，根据待定系数法即可解答；

（2）利用一元二次方程的根的判别式即可解答；

（3）先确定M（2，-3）、N（2，-8），则当PQ=MN=5时，四边形MNPQ为平行四边形．设点Q（m，0），则P点的坐标为（m，-5），根据菱形的性质得到PN=MN=5，故（m-2）2+（-5+8）2=52，即点P的坐标为（6，-5）或（-2，-5），最后就两个顶点分别根据平移规律解答即可．

解：（1）抛物线L：y＝x2+bx+c经过点M（2，﹣3），点C（0，﹣3）．

代入得，

解得，

∴抛物线L的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）令x2﹣2x﹣3＝0，则△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，

∴抛物线L与x轴有两个不同的交点；

（3）由题意得，M（2，﹣3），N（2，﹣8），

∴MN∥y轴，MN＝5，

∵PQ∥MN∥y轴，

∴当PQ＝MN＝5时，四边形MNPQ为平行四边形．

设点Q（m，0），则P点的坐标为（m，﹣5），

要使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为菱形，

只需PN＝MN＝5，

∴（m﹣2）2+（﹣5+8）2＝52，

解得m1＝6，m2＝﹣2，

∴点P的坐标为（6，﹣5）或（﹣2，﹣5）．

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线L的顶点坐标为（1，﹣4），

∴①当点P的坐标为（6，﹣5）时，6﹣5＝1，﹣5﹣（﹣4）＝﹣1，

∴将原抛物线先向右平移5个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L′；

②当点P的坐标为（﹣2，﹣5）时，﹣2﹣1＝﹣3，﹣5﹣（﹣4）＝﹣1，

∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L″．