Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关于过点E的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE= ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．
由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE=BH=x，
由切线长定理可知，ED=EM，FC=FM，
∵B、F关于EH对称，
∴HF=BH=x，ED=EM=7﹣x，FC=FM=7﹣2x，EF=14﹣3x，
在Rt△EFH中，∵EF2=EH2+HF2 ，
∴42+x2=（14﹣3x）2 ，
解得x=3或 （舍弃），
∴AE=3，
所以答案是3．
【考点精析】掌握矩形的性质和切线的性质定理是解答本题的根本，需要知道矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．