Question

3．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在第二象限，∠C=60°，函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0，x＜0）的图象经过点B．若菱形OABC的面积为2$\sqrt{3}$，则k的值为-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作BD⊥OA于D，由菱形的性质得出AB=OA，∠A=∠C=60°，求出∠ABD=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OA=AB=2AD，因此AD=OD=$\frac{1}{2}$OA，设AD=ODx，则OA=2x，BD=$\sqrt{3}$x，由菱形的面积得出方程，解方程求出点B的坐标为（-$\sqrt{3}$，1），即可求出k的值．

解答 解：作BD⊥OA于D，如图所示：
∵四边形OABC是菱形，
∴AB=OA，∠A=∠C=60°，
∴∠ABD=30°，
∴OA=AB=2AD，
∴AD=OD=$\frac{1}{2}$OA，
设AD=ODx，则O=2x，BD=AD×tan60°=$\sqrt{3}$x，
∵菱形OABC的面积为2$\sqrt{3}$，
∴2x•$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$，
解得：x=±1（负值舍去），
∴x=1，
∴OD=1，BD=$\sqrt{3}$，
∴点B的坐标为（-$\sqrt{3}$，1），
把点B（-$\sqrt{3}$，1）代入y=$\frac{k}{x}$（k＜0，x＜0）得：k=-$\sqrt{3}$；
故答案为：-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、含30°角的直角三角形的性质、三角函数等知识；熟练掌握菱形的性质，由菱形的面积求出点B的坐标是解决问题的关键．