【题目】如图1，AB=12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=8。点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由B点向点D运动。它们的运动时间为t(s).
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=2时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变。设点Q的运动速度为每秒x个单位，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x,t的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，PC⊥PQ，理由见解析；（2）存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等，
，
【解析】
（1）利用HL证得Rt△PAC≌Rt△QBP，得出∠APC=∠PQB，进一步得出∠PQB+∠QPB=∠APC+∠QPB=90°，得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BQP，分两种情况：①AC=BQ，AP=BP，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
（1）解：△ACP与△BPQ全等，PC⊥PQ，理由如下：
当t=2时，AP=BQ=2×2=4，BP=AB-AP=12-4=8=AC，
∵ AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠PAB=∠PBQ=90°，
在Rt△PAC和Rt△QBP中，
，
∴Rt△PAC≌Rt△QBP，
∴∠APC=∠PQB，
∵∠PQB+∠QPB=90°，
∴∠APC+∠QPB=90°，
即PC⊥PQ.
（2）解：存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等，理由如下：
若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，
即
,解得；
若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BO，
即
,解得.
举一反三同步巧讲精练系列答案
口算与应用题卡系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】完善下列解题步辈.井说明解题依据.
如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C，求证：AB∥CD.
证明：∵∠1=∠2（已知）
且∠1=∠CGD（______）
∴∠2=∠CGD（______）
∴______∥______（______），
∴∠C=______（______）
又∵∠B=∠C（已知）
∴______=∠B
AB∥CD（______）
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】点P、Q分别是边长为4cm的等边
的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是
，设运动时间为t秒．
连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，
变化吗：若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
连接PQ，
当
秒时，判断
的形状，并说明理由；
当
时，则
______秒
直接写出结果
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F.
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1=∠2，CD平分∠ACB，且∠3=120°，求∠ACB与∠1的度数.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】（本题7分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF，请从下列三个条件：①AB=DE；②∠A=∠D；③∠ACB=∠DFE中选择一个合适的条件，使AB∥ED成立，并给出证明．
（1）选择的条件是 （填序号）
（2）证明：
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，有一块矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米,E，F,G分别在AD,AB,BC上，∠EFG=900，EF=FG=
米，AF<BF.现想从此板材中剪出一个四边形EFGH,使得∠EHG=450，则四边形EFGH面
积的最大值是____________平方米.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】老张装修完新房，元旦期间到商场购买冰箱、电视机和洗衣机三件家电，刚好该商场推出新年优惠活动，具体优惠情况如下表：
购物金额（原价） | 折扣优惠 |
不超过3000元的部分 | 无折扣优惠 |
超过3000元但不超过10000元部分 | 九五折（ |
超过10000元的部分 | 九折 |
付款时，还可以享受单笔消费满2000元立减160元优惠 | |
如：买原价5000元的商品，实际花费：
（元）
（1）已知老张购买的这三件家电原价合计为11500元，如果一次性支付，请求出他的实际花费；
（2）如果在该商场购买一件原价为
元的商品（
）．请用含的代数式表示实际花费；
（3）付款前，老张突然想到：如果一次性支付，虽然折扣优惠更大，却只能享受一次立减160元优惠，如果将这三件家电分开支付或者两件合并支付．另一件单独支付，就可以享受多次立减160元优惠，已知老张购买的冰箱原价4800元，电视机原价4600元，洗衣机原价2100元，请你通过计算帮老张设计出最优惠的支付方案．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2=4，则△AnBnAn+1的边长为__________．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点与点E都是格点．
（1）作出四边形ABCD关于直线AC对称的四边形AB′CD′；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）若在直线AC上有一点P，使得P到D、E的距离之和最小，请作出点P（请保留作图痕迹），且求出PC=______．
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