Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，且AD＝4cm，AB＝6cm，DC＝10cm．若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动．设点P、Q同时出发，并运动了t秒．

（1）当t为多少秒时，四边形PQCD是平行四边形？请说明理由；

（2）当t为多少秒时，AQ＝DC？请说明理由；

（3）当t为多少秒时，PQ⊥DC？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝时，四边形PQCD是平行四边形，理由见解析；（2）当t＝或t＝4时，AQ＝DC，理由见解析；（3）当t＝秒，使得PQ⊥DC，理由见解析

【解析】

（1）若四边形PQCD是平行四边形，则PD=CQ，根据题意可列出关于t的一元一次方程，求解即可；

（2）过点D作DE⊥BC于点E，则DE=AB=6，利用勾股定理可求出CE的长，从而得出BC=12，BQ=12-5t，在直角△ABQ中利用勾股定理求解即可

（3）利用△CPQ∽△CED求解即可．

解：（1）t＝时，四边形PQCD是平行四边形，理由如下：

由题意知，AP＝4t，CQ＝5t，

∴DP＝AD﹣AP＝4﹣4t，

∵四边形PQCD成为平行四边形，

∴DP＝CQ，

∴4﹣4t＝5t，

解得：t＝，

即t＝时，四边形PQCD是平行四边形；

（2）过点D作DE⊥BC于E，连接AQ，

∵∠B＝90°，AD∥BC，

∵∠B＝90°，AD∥BC，

∴四边形ABED是矩形，

∴DE＝AB＝6cm，

BE＝AD＝4cm，

由勾股定理得，CE＝，

∴BC＝BE+CE＝4+8＝12cm，

∵CQ＝5t，BC＝12，

∴BQ＝12﹣5t，

∵AQ＝CD，

∴，

解得：t＝或t＝4（不符合题意，舍去）；

（3）如下图，由题意知，CP＝14﹣4t，

∵PQ⊥CD，

∴∠CPQ＝90°，

∴∠CPQ＝∠CED，

又∵∠C＝∠C，

∴△CPQ∽△CED，

∴

即，

解得t＝，

此时，CQ＝×5＝＜BC，

∴存在t＝秒，使得PQ⊥DC．