Question

【题目】如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．

（1）求证：AE=BG

（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°）如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立？如果仍成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；

（3）若BC=DE=4，当旋转角α为多少度时，AE取得最大值？直接写出AE取得最大值时α的度数，并利用备用图画出这时的正方形DEFG，最后求出这时AF的值．

图1 图2 备用图

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）成立；（3）270°，

【解析】试题分析（1）在Rt△BDG与Rt△EDA；根据边角边定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；

（2）连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得BG=AE；

（3）根据（2）的结论，求BG的最大值，分析可得此时F的位置，由勾股定理可得答案．

试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴∠ADB=∠ADC=90°，AD=DC=DB，

∵四边形DEFG是正方形，

∴DE=DG，

∴△ADE≌△BDG（SAS），

∴BG=AE；

（2）成立；

理由如下：如图2，连接AD，

由（1）知AD=BD，AD⊥BC．

∴∠ADG+∠GDB=90°．

∵四边形EFGD为正方形，

∴DE=DG，且∠GDE=90°．

∴∠ADG+∠ADE=90°

∴∠BDG=∠ADE．

在△BDG和△ADE中，

∵BD=AD，∠BDG=∠ADE，GD=ED，

∴△BDG≌△ADE（SAS）

∴AE=BG；

（3）α=270°；

正方形DEFG如图3所示

由（2）知BG=AE

∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．

∵BC=DE=4，

∴EF=4，

∴BG=2+4=6

∴AE=6

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF=.