Question

如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S₁，△OEF的面积为S₂。试探究：是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由。

                                                              

Answer 1

存在。

∵四边形OAPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，

∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形。

∵E点的横坐标为a，E（a，2﹣a），

∴AM=EM=2﹣a。

∴AE²=2（2﹣a）²=2a²﹣8a+8。

∵F的纵坐标为b，F（2﹣b，b），

∴BN=FN=2﹣b。∴BF²=2（2﹣b）²=2b²﹣8b+8。

∵PF=PE=a+b﹣2，

∴EF²=2（a+b﹣2）²=2a²+4ab+2b²﹣8a﹣8b+8。

∵ab=2，

∴EF²=2a²+2b²﹣8a﹣8b+16。

∴EF²=AE²+BF²。

∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边。

∴此三角形的外接圆的面积为。

∵，

∴S₂=S_梯形OMPF﹣S_△PEF﹣S_△OME，=（PF+ON）•PM﹣PF•PE﹣OM•EM

= [PF（PM﹣PE）+OM（PM﹣EM）]= （PF•EM+OM•PE）=PE（EM+OM）

=（a+b﹣2）（2﹣a+a）=a+b﹣2。

∴。

设m=a+b﹣2，则，

∵，

∴当时，有最大值，最大值为。

【考点】单动点问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，二次函数的性质，偶次幂的非负性质，转换思想的应用。