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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,4).

(1)求此抛物线的解析式;

(2)设点P(2,n)在此抛物线上,APy轴于点E,连接BE,BP,请判断BEP的形状,并说明理由;

(3)设抛物线的对称轴交x轴于点D,在线段BC上是否存在点Q,使得DBQ成为等腰直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1)y=x2+3x+4;(2BEP为等腰直角三角形,理由见解析;(3)存在,Q的坐标为.

【解析】试题分析:(1)待定系数法求二次函数解析式.(2)先求出直线AP解析式,分别求出BE,EP,BP的长度,由勾股定理逆定理BEP的形状.(3)先求出二次函数的顶点,分类讨论,若BQ=DQBQ1DQ1,∠BDQ=45°,过点Q1Q1MOB,垂足为M,可求得DBQ是等腰三角形,可以得到Q点,若DQ2=BD,DQ2BD可以计算出Q.

试题解析:

解:(1)∵抛物线上A、B、C三点坐标代入抛物线解析式y=ax2+bx+c

,

解得,

抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4.

(2)结论:BEP为等腰直角三角形,理由如下:

P(2,n)在此抛物线上,

n=﹣4+6+4=6,

P点坐标为(2,6).

设直线AP解析式为y=kx+b

A、P两点坐标代入可得,

解得,

直线AP的解析式为y=2x+2,

x=0可得y=2,则E点坐标为(0,2).

B(4,0),P(2,6),

BP=2BE=2EP=2

BE2+EP2=20+20=40=BP2,且BE=EP

∴△BEP为等腰直角三角形.

(3)存在.

y=x2+3x+4=﹣(x2+,

∴顶点的坐标为(),

OB=OC=4,∴BC=4,∠ABC=45°.

以下分两种情况:

BQ=DQBQ1⊥DQ1,∠BDQ=45°,如图,过点Q1Q1MOB,垂足为M,

BQ1=DQ1BD=4﹣=

BM=Q1M=OM=4﹣=

∴Q1的坐标为Q1).

DQ2=BD=DQ2BD,易得BC所在的直线解析式为y=﹣x+4,

代入x=,得y=+4=

DQ2=BD=,∴△BDQ2是等腰直角三角形,

所以Q2的坐标为Q2),

综上所述,Q的坐标为Q1)或Q2).

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.

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8×0.1258×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125

(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)

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