Question

3．如果方程x²+px+q=0有两个根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x²+2x-5=0，求（x₁+2）（x₂+2）和（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）的值；
（2）已知a，b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，求$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据x₁，x₂是方程x²+2x-5=0的两根，得出x₁+x₂=-2； x₁x₂=-5，再把（x₁+2）（x₂+2）变形为x₁x₂+2（x₁+x₂）+4把$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$变形为$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，然后代入计算即可；
（2）根据a，b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，得出a，b是x²-15x-5=0的根，分①当a≠b时；②当a=b时；求出a+b与ab的值，再把要求的式子$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$进行变形，然后代入计算即可．

解答 解：（1）∵x₁，x₂是方程x²+2x-5=0的两根，
∴x₁+x₂=-2； x₁x₂=-5，
∴①（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=-5-4+4=-5，
②$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2}{5}$；

（2）∵a，b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，
∴a，b是x²-15x-5=0的根，
∴①当a≠b时，a+b=15，ab=-5，
∴$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}$=-47；
②当a=b时，原式=2；

点评 此题考查了根与系数的关系，关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．