Question

4．（1）如图，AD∥BC，∠A=∠DEC=90°，DE=EC，试说明AD+BC=AB．
（2）在△ABC和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC，CF⊥AD，试说明GB=EG．

Answer 1

分析 （1）推出∠ADE=∠BEC，根据AAS证△AED≌△CEB，推出AE=BC，BE=AD，即可得出结论．
（2）作BM⊥FG于M，EN⊥FG于N，则BM∥EN，由AAS证明△BCM≌△CAF，得出对应边相等BM=CF，同理：△CEN≌△DCF，得出EN=CF，因此BM=EN，由平行线得出比例式GB：GE=BM：EN=1，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠DEC=∠A=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC，
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B+∠A=180°，
∴∠B=∠A=90°，
在△AED和△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}&{\;}\\{∠ADE=∠BEC}&{\;}\\{DE=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CEB，
∴AE=BC，BE=AD，
∵AE+BE=AB，
∴AD+BC=AB．
（2）证明：作BM⊥FG于M，EN⊥FG于N，如图所示：
则BM∥EN，
∵∠ACB=90°，CF⊥AD，
∴∠AFC=90°，∠BCM+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠BCM=∠CAF，
在△BCM和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCM=∠CAF}&{\;}\\{∠BMC=∠AFC=90°}&{\;}\\{BC=CA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△CAF（AAS），
∴BM=CF，
同理：△CEN≌△DCF，
∴EN=CF，
∴BM=EN，
∵BM∥EN，
∴GB：GE=BM：EN=1，
∴GB=EG．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．