Question

【题目】已知：△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=4，D、F分别为AB、AC边上的一个动点，过D分别作DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，那么FG的最小值为（）

A.2B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

连接CD，利用90°圆周角所对的弦是直径可得点D，G，C，F四点共圆，且CD是圆的直径，当FG⊥CD时，FG最小，利用垂径定理可得CD平分∠ACB，然后设DG=BG=x，则CG=4-x，然后利用三角函数求得x的值，从而求得GF的长度．

解：如图，连接CD．

由题意可知：∠DGC=∠DFC=90°

∴点D，G，C，F四点共圆，且CD是圆的直径，

当FG⊥CD时，FG最小，

∵FG⊥CD

∴直径CD垂直平分FG

又∵∠ACB=60°

△ABC为等边三角形

∴GF=CG

∵∠B=45°，∠DGC =90°

∴设DG=BG=x，则CG=4-x，

在Rt△DCG中，∠GCD=30°

∴，即

解得：

∴GF=GC=4-x=

故选：C．